কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত P এবং 2P মানের বলদ্বয়ের লব্ধি যদি P এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব হয়, এদের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

ধরি, দুইটি বল \(F_1 = P\) এবং \(F_2 = 2P\)।

তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)।

লব্ধি বল \(R\) প্রথম বল \(P\) এর ক্রিয়ারেখার সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।

প্রশ্নানুসারে, লব্ধি P এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব, অর্থাৎ, \(\theta = 90^\circ\)।

দুটি বলের লব্ধির দিক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[ \tan \theta = \frac{F_2 \sin \alpha}{F_1 + F_2 \cos \alpha} \]

এখানে \(F_1 = P\), \(F_2 = 2P\) এবং \(\theta = 90^\circ\) বসিয়ে পাই:

\[ \tan 90^\circ = \frac{2P \sin \alpha}{P + 2P \cos \alpha} \]

\(\tan 90^\circ\) এর মান অসংজ্ঞায়িত। একটি ভগ্নাংশের মান অসংজ্ঞায়িত হয় যখন এর হর (denominator) শূন্য হয় এবং লব (numerator) অশূন্য হয়। যেহেতু এখানে লব \((2P \sin \alpha)\) অশূন্য হবে (কারণ \(\alpha = 0^\circ\) বা \(180^\circ\) হলে লব্ধি P এর উপর লম্ব হতে পারে না), তাই হর শূন্য হতে হবে।

অতএব,

\[ P + 2P \cos \alpha = 0 \]

উভয় পক্ষকে \(P\) দ্বারা ভাগ করে (যেহেতু \(P \neq 0\)):

\[ 1 + 2 \cos \alpha = 0 \]

\[ 2 \cos \alpha = -1 \]

\[ \cos \alpha = -\frac{1}{2} \]

যেহেতু \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\), আমরা জানি \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\)।

সুতরাং, \(\alpha = 120^\circ\)।

বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান \(120^\circ\)।